Question

已知函數(shù)f(x)=

x

1+x2

．
（1）證明函數(shù)具有奇偶性；
（2）證明函數(shù)在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)；
（3）求函數(shù)在[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先看定義域是否關(guān)于原點對稱，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)，看f（-x）與f（x）的關(guān)系，依據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義進行判斷．
（2）要求是用定義，先在給定的區(qū)間上任取兩個變量，且界定其大小，然后作差變形看符號．；
（3）由（1）（2）可知f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，從而求得f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）由題意，對任意設x∈R都有f(-x)=

-x

1+(-x)2

=-

x

1+x2

=-f(x)，
故f（x）在R上為奇函數(shù)；（3分）
（2）任取x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，

∴x1-x2＜0，x1x2＜1，1+x12＞0，1+x22＞0， ∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)

故在[0，1]上為增函數(shù)；（7分）
（3）由（1）（2）可知f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
故f（x）在[-1，1]上的最大值為f(1)=

1

2

，最小值為f(-1)=-

1

2

．（10分）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷、研究奇偶性等問題，要注意變形處理和函數(shù)單調(diào)性奇偶性定義的應用