Question

（2013•重慶）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2

3

，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=

π

3

．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若側棱PC上的點F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性質可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直線和平面垂直的判定定理證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由側棱PC上的點F滿足PF=7FC，可得三棱錐F-BCD的高是三棱錐P-BCD的高的

1

8

．求出△BCD的面積S_△BCD，再根據三棱錐P-BDF的體積 V=V_P-BCD-V_F-BCD=

1

3

•S△BCD•PA-

1

3

•S△BCD• 

1

8

•PA，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD為等腰三角形，再由 ∠ACB=∠ACD=

π

3

，∴BD⊥AC．
再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．
而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵側棱PC上的點F滿足PF=7FC，
∴三棱錐F-BCD的高是三棱錐P-BCD的高的

1

8

．
△BCD的面積S_△BCD=

1

2

BC•CD•sin∠BCD=

1

2

×2×2×sin

2π

3

=

3

．
∴三棱錐P-BDF的體積 V=V_P-BCD-V_F-BCD=

1

3

•S△BCD•PA-

1

3

•S△BCD• 

1

8

•PA=

7

8

×

1

3

•S△BCD•PA
=

7

24

×

3

×2

3

=

7

4

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，用間接解法求棱錐的體積，屬于中檔題．