Question

（2013•重慶）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=

π

3

，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB．
（1）求PA的長(zhǎng)；
（2）求二面角B-AF-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）連接BD交AC于點(diǎn)O，等腰三角形BCD中利用“三線合一”證出AC⊥BD，因此分別以O(shè)B、OC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合題意算出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（0，-3，z），根據(jù)F為PC邊的中點(diǎn)且AF⊥PB，算出z=2

3

，從而得到

PA

=（0，0，-2

3

），可得PA的長(zhǎng)為2

3

；
（II）由（I）的計(jì)算，得

AD

=（-

3

，3，0），

AB

=（

3

，3，0），

AF

=（0，2，

3

）．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出

m

=（3，

3

，-2）和

n

=（3，-

3

，2）分別為平面FAD、平面FAB的法向量，利用空間向量的夾角公式算出

m

、

n

夾角的余弦，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．．

解答：解：（I）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線分別為x軸、y軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則OC=CDcos

π

3

=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3．
又∵OD=CDsin

π

3

=

3

，
∴可得A（0，-3，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），D（-

3

，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可設(shè)P（0，-3，z）
∵F為PC邊的中點(diǎn)，∴F（0，-1，

z

2

），由此可得

AF

=（0，2，

z

2

），
∵

PB

=（

3

，3，-z），且AF⊥PB，
∴

AF

•

PB

=6-

1

2

z2=0，解之得z=2

3

（舍負(fù)）
因此，

PA

=（0，0，-2

3

），可得PA的長(zhǎng)為2

3

；
（II）由（I）知

AD

=（-

3

，3，0），

AB

=（

3

，3，0），

AF

=（0，2，

3

），
設(shè)平面FAD的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），平面FAB的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），
∵

m

•

AD

=0且

m

•

AF

=0，∴

- 3 x1+3y1=0 2y1+ 3 z1=0

，取y₁=

3

得

m

=（3，

3

，-2），
同理，由

n

•

AB

=0且

n

•

AF

=0，解出

n

=（3，-

3

，2），
∴向量

m

、

n

的夾角余弦值為cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3×3+ 3 ×(- 3 )+(-2)×2

9+3+4 • 9+3+4

=

1

8

因此，二面角B-AF-D的正弦值等于

1-( 1 8 )2

=

3 7

8

點(diǎn)評(píng)：本題在三棱錐中求線段PA的長(zhǎng)度，并求平面與平面所成角的正弦值．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．