Question

【題目】設二次函數f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），f（1）=0，且1≤x≤3時，f（x）≤0恒成立，f（x）是區間[2，+∞）上的增函數．函數f（x）的解析式是；若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，u=m+n，u的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】f（x）=x2﹣4x+3；2＜u＜4﹣
【解析】解：由已知f（1）≥0與f（1）≤0同時成立，則必有f（1）=0，故b+c+1=0．
∴c=﹣b﹣1，
∴f（x）=x2+bx﹣b﹣1=（x﹣1）（x+b+1），
∵1≤x≤3時，f（x）≤0恒成立，
∴﹣b﹣1≥3，∴b≤﹣4，
∵f（x）是區間[2，+∞）是增函數，
∴﹣ ≤2，∴b≥﹣4，
∴b=﹣4，c=3，
∴f（x）=x2﹣4x+3；
∵f（x）=x2﹣4x+3，
∴函數在（﹣∞，2）上單調遞減，
∵|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，
∴f（m）=﹣f（n），
∴m2﹣4m+3=﹣n2+4n﹣3，
∴（m﹣2）2+（n﹣2）2=2（m＜n＜2）
u=m+n與圓弧相切時，切點為（1，1），u=2，
直線過點（2，2﹣ ）時，u=4﹣ ，
故答案為：f（x）=x2﹣4x+3，2＜u＜4﹣ ．
由已知f（1）=0，可得c=﹣b﹣1，f（x）=x2+bx﹣b﹣1=（x﹣1）（x+b+1），利用1≤x≤3時，f（x）≤0恒成立，f（x）是區間[2，+∞）是增函數，求出b．即可求函數f（x）的解析式；若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，f（m）=﹣f（n），可得（m﹣2）2+（n﹣2）2=2（m＜n＜2），u=m+n，即可求u的取值范圍．