Question

（2013•海淀區二模）設變量x，y滿足約束條件

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

其中k∈R，k＞0
（I）當k=1時，

y

x2

的最大值為

1

；
（II）若

y

x2

的最大值為1，則實數k的取值范圍是

（0，1]

．

Answer 1

分析：（I）當k=1時，作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部．設P（x，y）為區域內一點，運動點P并觀察直線OP斜率的變化，可得當P與線段AB上某點重合時，k_OP=1達到最大值，進一步觀察得到點P與點A重合時，

y

x2

有最大值為1；
（II）如圖所示，題中不等式組表示的平面區域為圖中直線AB上方、直線BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的區域．由此將直線y-1=k（x-1）繞A（1，1）旋轉，觀察斜率的變化并計算

y

x2

的值，可得實數k的取值范圍．

解答：解：（I）當k=1時，作出不等式組

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

，
即

y-1≥0 x+y-4≤0 y≤x

表示的平面區域，得到如圖的△ABC及其內部，
其中A（1，1），B（3，1），C（2，2）
設P（x，y）為區域內一個動點，可得k_OP=

y

x

表示P、O兩點連線的斜率
運動點P，可得當P與線段AB上某點重合時，k_OP=1達到最大值；
當P與B重合時，k_OP=

1

3

達到最小值
∵

y

x2

=k_OP•

1

x

，當點P與點A重合時，x達最小值1得

1

x

有最大值1，
且k_OP達到最大值
∴點P與點A重合時，

y

x2

有最大值為1；
（II）根據題意，直線y-1=k（x-1）經過定點A（1，1）
不等式組

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

表示的平面區域為直線AB上方、直線BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的區域
∵

y

x2

的最大值為1，即當點P與點A重合時

y

x2

有最大值
∴直線y-1=k（x-1）繞A點順時針旋轉，且滿足斜率大于0時，符合題意
因此斜率的范圍為（0，1]，即實數k的取值范圍是（0，1]．
故答案為：1，（0，1]

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標函數的最值和參數的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和直線的斜率等知識，屬于中檔題．