Question

【題目】設，對于項數為的有窮數列，令為中最大值，稱數列為數列的“創新數列”.例如數列3，5，4，7的創新數列為3，5，5，7. 考查正整數1，2，…，的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列.

（1）若，寫出創新數列為3，4，4，4的所有數列；

（2）是否存在數列的創新數列為等比數列？若存在，求出符合條件的的創新數列；若不存在，請說明理由.

（3）是否存在數列，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出滿足所有條件的數列的個數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）3，4，1，2和3，4，2，1，（2）存在，，（3）有個

【解析】

（1）先閱讀題意，再求出數列即可得解；

（2）先假設存在數列的創新數列為等比數列，再由創新數列的定義求解即可；

（3）先假設存在數列的創新數列為等差數列，再由創新數列的定義分類討論等差數列的公差求解即可.

解：（1）由題意可得：第一個數為3，第二個數為4，第三個與第四個數分別為1與2的排列即可，即數列有兩個：3，4，1，2和3，4，2，1；

（2）存在數列的創新數列為等比數列，

理由如下：

設數列的創新數列為，

若為等比數列，設公比是，因為，所以，

當時，為常數列，滿足條件，即創新數列為；

當時，為增數列，符合條件的數列只有1，2，，

又1，2，，不是等比數列；

綜上可得符合條件的創新數列只有一個；

（3）存在數列，使它的創新數列為等差數列，

理由如下：

若為等差數列，設公差是，因為，

所以且，

當時，為常數列，滿足條件，即創新數列為；

此時數列是首項為的任意一個排列，共有個排列，

當時，為增數列，符合條件的數列只有1，2，，

此時數列是1，2，，只有一個；

當時，與矛盾，此時不存在；

所以滿足條件的數列的個數為個.