Question

【題目】已知數列中， ，其前項和滿足.

（1）求證：數列為等差數列，并求的通項公式；

（2）設 ，求數列的前項和；

（3）設為非零整數，是否存在的值，使得對任意恒成立，若存在求出的值，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析， （2）（3）存在

【解析】試題分析：（1）Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+1，可得an+1=an+1（n≥2）．又a2-a1=1，即可證明{an}為等差數列．（2）由（1）知，即得（3）， ．對n分類討論，利用數列的單調性即可得出．

試題解析：

（1）由已知得，即，

又也滿足上式，

所以為等差數列，所以，公差，所以.

（2）由（1）知，所以.

（3）因為，所以，

要使恒成立，

則恒成立，

所以恒成立，

所以恒成立.

①當為奇數時，即恒成立，當且僅當時， 有最小值，所以.

②當為偶數時，即恒成立，當且僅當時， 有最大值，所以，

即，又為非零整數，則，

綜上所述，存在，使得對任意，都有.