Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分別是AB，BC的中點N在軸上
（I）求證：PF⊥FD；
（II）在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

解析：（Ⅰ）連接AF，則AF=，DF=，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD
∴DF⊥PA
又∵PA?平面PAF，AF?平面PAF，PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF
∵PF?平面PAF
∴PF⊥FD
（Ⅱ）如圖，過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD且AH=AD．
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=AP，
∵EH?平面EHG，HG?平面EHG，EH∩HG=H
∴平面EHG∥平面PFD．
∵EG?平面EHG
∴EG∥平面PFD．
從而滿足AG=AP的點G為所求．
分析：（1）連接AF，證明DF⊥平面PAF，即可證得PF⊥FD．
（2）過E點作EH∥DF交AD于點H，過H點作HG∥PD，交PD于點G，連接EG，證明平面EHG∥平面PDF，得EG∥平面PDF，從而得點G得位置．
點評：本題主要考查了線面垂直的判定及性質、面面平行的判定及性質，解題中要注意線線、線面、面面關系的轉化．