Question

【題目】如圖，三棱柱的側面是邊長為的菱形，，且．

（1）求證：；

（2）若，當二面角為直二面角時，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用直線與平面垂直的判定，結合三角形全等判定，得到，再次結合三角形全等，即可。（2）法一：建立坐標系，分別計算的法向量，結合兩向量夾角為直角，計算出的值，然后結合，即可。法二：設出OA=x,用x分別表示AB,BD,AD，結合，建立方程，計算x，結合，即可。

（1）連結，交于點，連結，

因為側面是菱形，所以，

又因為，，

所以平面，

而平面，所以，

因為，所以，

而，所以，.

（2）因為，，所以，（法一）以為坐標原點，所以直線為軸，

所以直線為軸，所以直線為軸建立

如圖所示空間直角坐標系，設，

則，，，

，，

所以，，，

設平面的法向量，所以

令，則，，取，

設平面的法向量，所以

令，則，，取，

依題意得，解得.

所以.

（法二）過作，連結，

由（1）知，所以且，

所以是二面角的平面角，依題意得，，

所以，

設，則，，

又由，，

所以由，解得，

所以.