Question

已知拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的圓記為.
(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2) 設(shè)拋物線與ｘ軸的交點(diǎn)從左到右分別為A、B，與ｙ軸的交點(diǎn)為C，求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3) 設(shè)直線是拋物線在點(diǎn)A處的切線，試判斷直線是否也是圓的切線？并說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)或;(2),;(3) 直線不可能是圓的切線.

(1)∵拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)∴，否則拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)不符,由知，拋物線與ｙ軸有一個(gè)非原點(diǎn)的交點(diǎn)，故拋物線與ｘ軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根∴即
∴的取值范圍是或.
(2)令ｘ＝０得，∴
令得解得
∴,;
(3)解法１：∵　∴
∴直線的斜率
∵圓過(guò)A、B、C三點(diǎn)，∴圓心M為線段AB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)
∵AB的垂直平分線即拋物線的對(duì)稱軸
∵線段AC的中點(diǎn)為直線AC的斜率
∴線段AC的垂直平分線方程為    ()
將代入()式解得，即
∴，若直線也是圓的切線，則
即解得這與或矛盾
∴直線不可能是圓的切線．
解法２：∵　∴,
∴直線的斜率,
設(shè)圓的方程為,
∵圓過(guò),，
∴　解得,∴圓心
∴，若直線也是圓的切線，則
即解得,這與或矛盾.
∴直線不可能是圓的切線．