Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，如果函數f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+…+

1

n+an

（n∈N^*，n≥2），則函數f（n）的最小值為（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  4

• C．

  7

  12

• D．

  5

  12

Answer 1

分析：把點P代入直線方程，可得a_n+1-a_n=1進而判斷數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列數列{a_n}的通項公式可得，分別表示出f（n）和f（n+1），通過f（n+1）-f（n）＞0判斷
f（n）單調遞增，故f（n）的最小值是f（2）．

解答：解：由點P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，得a_n+1-a_n=1，且a₁=1，
所以數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列，
a_n=1+（n-1）•1=n（n≥2），a₁=1同樣滿足，
所以a_n=n，
f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，
f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
所以f（n）是單調遞增，
故f（n）的最小值是f（2）=

7

12

，
故選C．

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式．即數列與不等式相結合的問題考查，考查了學生綜合思維能力．