Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+1

2x-1

（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）討論f（x）的奇偶性并證明；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的定義域可令分母2^x-1≠0求解，對函數(shù)的解析式進行變化，判斷出值域即可值域；
（2）討論f（x）的奇偶性并證明，本函數(shù)是一個奇函數(shù)，由定義法證明即可；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明，由解析式可以看出本函數(shù)在（0，+∞）是一個減函數(shù)，可由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法判斷證明即可．

解答：解：（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定義域為{x|x≠0}
函數(shù)的解析式可以變?yōu)?span id="9qsjbjj" class="MathJye">f(x)=1+

2

2x-1

，由于2^x-1＞-1，故

1

2x-1

＜-1或

1

2x-1

＞0
故

2

2x-1

＞0或

2

2x-1

＜-2，
∴f(x)=

2x+1

2x-1

的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函數(shù)是一個奇函數(shù)，證明如下
f(-x)=

2-x+1

2-x-1

=

2x+1

1-2x

= -

2x+1

2x-1

=-f(x)，故是一個奇函數(shù)．
（3）f（x）在（0，+∞）是一個減函數(shù)，證明如下
由于f(x)=1+

2

2x-1

，在（0，+∞）上，2^x-1遞增且函數(shù)值大于0，

2

2x-1

在（0，+∞）上是減函數(shù)，故f(x)=1+

2

2x-1

在（0，+∞）上是減函數(shù)

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的、奇偶性的判斷與證明以及函數(shù)的定義域與值域的求法，求解此類題的關(guān)鍵是對函數(shù)性質(zhì)的證明方法了然于胸，熟知其各種判斷證明方法．