Question

已知函數的定義域為R，其導數滿足0＜＜1．設a是方程＝x的根．
（Ⅰ）當x＞a時，求證：＜x；
（Ⅱ）求證：|－|＜|x₁－x₂|（x₁，x₂∈R，x₁≠x₂）；
（Ⅲ）試舉一個定義域為R的函數，滿足0＜＜1，且不為常數．

Answer 1

同解析

（Ⅰ）令g(x)=f(x) －x，則g`(x)=f `(x) －1<0．故g(x)為減函數，
又因為g(a)=f(a）－a=0，所以當x>a時，g(x)＜g(a)=0，
所以f(x) －x＜0，即<x．                                       5分
（Ⅱ）不妨設x₁＜x₂，由（Ⅰ）知g(x)為減函數，
所以 g(x₂)＜g(x₁)，即f(x₂)－x₂＜f(x₁)－x₁
所以 f(x₂)－f(x₁)＜x₂－x₁；又因為＞0，所以為增函數，
所以0＜f(x₂)－f(x₁)＜x₂－x₁，所以|－|＜|x₁－x₂|．           11分
（Ⅲ）本小題沒有統一的答案，滿足題設條件的函數有無窮多個．
如f(x)=.                                                  16分