Question

已知三條直線l₁：2x-y+a=0（a＞0），l₂：-4x+2y+1=0和l₃：x+y-1=0，且l₁與l₂的距離是

7 5

10

；
（1）求a的值；
（2）能否找到一點P同時滿足下列三個條件：
①P是第一象限的點；
②點P到l₁的距離是點P到l₂的距離的

1

2

；
③點P到l₁的距離與點P到l₃的距離之比是

2

：

5

？若能，求點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）∵直線l₁：-4x+2y-2a=0（a＞0），l₂：-4x+2y+1=0，且l₁與l₂的距離是

7 5

10

，
∴

|-2a-1|

16+4

=

7 5

10

，解得 a=3．
（2）設點P的坐標為（m，n），m＞0，n＞0，
若P點滿足條件②，則點P在與l₁、l₂平行的直線l′：2x-y+C=0上，∴

|C-3|

5

=

1

2

•

|C+ 1 2 |

5

，
解得 C=

13

2

，或C=

11

6

，故有 2m-n+

13

2

=0，或2m-n+

11

6

=0．
若P點滿足條件③，由題意及點到直線的距離公式可得，

|2m-n+3| 5

|m+n-1| 1+1

=

2

5

，化簡可得|2m-n+3|=|m+n-1|，故有2m-n+3=m+n-1 或2m-n+3=-（m+n-1）．
即 m-2n+4=0，或3m+2=0（舍去）．
聯立 2m-n+

13

2

=0 和 m-2n+4=0解得

m=-4 n=- 5 2

，應舍去．
聯立2m-n+

11

6

=0和 m-2n+4=0解得

m= 1 9 n= 37 18

，
故點P的坐標為（

1

9

，

37

18

），故能找到一點P同時滿足這三個條件．