Question

【題目】在一個圓錐內作一個內接等邊圓柱（一個底面在圓錐的底面上，且軸截面是正方形的圓柱），再在等邊圓柱的上底面截得的小圓錐內做一個內接等邊圓柱，這樣無限的做下去.

（1）證明這些等邊圓柱的體積從大到小排成一個等比數列；

（2）已知這些等邊圓柱的體積之和為原來圓錐體積的，求最大的等邊圓柱的體積與圓錐的體積之比.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求出第一個等邊圓柱的體積，設第個等邊圓柱的底面半徑為，其外接圓錐的底面半徑為，高為，則其體積，進一步求得第個等邊圓柱的體積，作比可得這些等邊圓柱的體積從大到小排成一個等比數列；

（2）由這些等邊圓柱的體積之和為原來圓錐體積的可得與的關系，則答案可求．

（1）證明：如圖，

設圓錐的底面半徑為，高為，內接等邊圓柱的底面半徑為，

則由三角形相似可得：，可得．

其體積．

設第個等邊圓柱的底面半徑為，其外接圓錐的底面半徑為，高為，

則其體積，

再設第個等邊圓柱的底面半徑為，則其外接圓錐的底面半徑為，

高為，

則第個等邊圓柱的體積．

為定值，

則這些等邊圓柱的體積從大到小排成一個以為首項，以為公比的等比數列；

（2）解：原來圓錐的體積為，

這些等邊圓柱的體積之和為．

由，得，

．

則最大的等邊圓柱的體積為，圓錐的體積為，體積之比為．