Question

已知拋物線，點P（-1，0）是其準線與軸的焦點，過P的直線與拋物線C交于A、B兩點.
（1）當線段AB的中點在直線上時，求直線的方程；
（2）設F為拋物線C的焦點，當A為線段PB中點時，求△FAB的面積.

Answer 1

（1）.  （2）.

試題分析：（1）首先確定拋物線方程為，將直線的方程為，（依題意存在，且≠0）與拋物線方程聯立，消去得應用中點坐標公式AB中點的橫坐標為，進一步求得直線的斜率，從而可得直線方程.應注意直線斜率的存在性.
（2）根據中點坐標公式確定得到，再利用A、B為拋物線上點，得得到方程組求得
，，計算得到△FAB的面積 .注意結合圖形分析，通過確定點的坐標，得到三角形的高線長.
試題解析：（1）因為拋物線的準線為，所以，
拋物線方程為            2分
設，直線的方程為，（依題意存在，且≠0）與拋物線方程聯立，消去得   （*）
， 4分
  
所以AB中點的橫坐標為，即，所以 6分
（此時（*）式判別式大于零）
所以直線的方程為 7分
（2）因為A為線段PB中點，所以        8分
由A、B為拋物線上點，得，     10分
解得，         11分
當時，；當時，        12分
所以△FAB的面積  14分