Question

【題目】某單位建造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小房子，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過am．房屋正面的造價為400元/m2 ， 房屋側面的造價為150元/m2 ， 屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面的費用．當側面的長度為多少時，總造價最低？

Answer 1

【答案】解：設總造價為Z元，則xy=12，有y=
∴Z=3y×400+6x×150+5800
=900（x+ ）+5800
≥900×2 +5800
=13000 …（6分）
當 x= 時，即x=4時，Z有最小值13000，
若a≥4時，則x=4總進價最低，最低總造價是13000元．
當0＜a＜4時，則y′=900（1﹣ ）
∴當0＜x＜4時，y′＜0，故函數y=900（x+ ）+5800（0，a]上是減函數，
∴當x=a時，y有最小值，即最低總造價為900（a+ ）+5800元
答：當a≥4時，x=4總造價最低，最低總造價是13000元；
當0＜a＜4時，x=a總造價最低，最低總造價為900（a+ ）+5800元．

【解析】已知中地面面積為12m2 ， 我們可得xy=12有y= ，根據房屋正面的造價為400元/m2 ， 房屋側面的造價為150元/m2 ， 屋頂的造價共5200元，結合墻高為3m，我們可以構造房屋總造價的函數解析式，利用基本不等式或導數即可求出函數的最小值，進而得到答案．