Question

如圖：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分別是線段AB，BC上的點，且EB=FB=1．
（1）求二面角C-DE-C₁的大小；
（2）求異面直線EC₁與FD₁所成角的大小；
（3）求異面直線EC₁與FD₁之間的距離．

Answer 1

分析：（1）以A為原點

AB

，

AD

，

AA1

分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系，分別求出平面C₁DE與平面C₁DE的一個法向量的坐標，代入向量夾角公式，即可得到答案．
（2）分別求出異面直線EC₁與FD₁的方向向量，代入向量夾角公式，求出它們夾角的余弦值，進而得到異面直線EC₁與FD₁所成角的大小；
（3）我們求出異面直線EC₁與FD₁的公垂向量，代入異面直線距離公式d=

| m ?D1 C1 |

| m |

，即可求出答案．

解答：解：（1）以A為原點

AB

，

AD

，

AA1

分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系，則有D（0，3，0），D₁（0，3，2），E（3，0，0），F（4，1，0），C₁（4，3，2）．（1分）
于是

DE

=（3，-3，0），

EC1

=（1，3，2），

FD1

=（-4，2，2）（3分）
設向量n=（x，y，z）與平面C₁DE垂直，則有

n⊥ DE n⊥ EC1

?

3x-3y=0 x+3y+2z=0

?x=y=-

1

2

z．
∴n=（-

z

2

，-

z

2

，z）=

z

2

（-1，-1，2），其中z＞0．取n₀=（-1，-1，2）
，則n₀是一個與平面C₁DE垂直的向量，（5分）
∵向量

AA1

=（0，0，2）與平面CDE垂直，∴n₀與

AA1

所成的角θ為二面角C-DE-C₁的平面角．（6分）
∴cosθ=

n0• AA1

|n0|| AA1 |

=

-1×0-1×0+2×2

1+1+4 × 0+0+4

=

6

3

．（7分）
故二面角C-DE-C₁的大小為arccos

6

3

．（8分）
（2）設EC₁與FD₁所成角為β，（1分）
則cosβ=

EC1 • FD1

| EC1 || FD1 |

=

1×(-4)+3×2+2×2

1+1+4 × 0+0+4

=

21

14

（10分）
故異面直線EC₁與FD₁所成角的大小為arccos

21

14

（11分）
（3）設

m

=（x，y，z）

m ⊥ EC1 m ⊥ FD1

?

m

=(

1

7

，-

5

7

，1)又取D1

C1

=(4，0，0)$}}\over m}=（\frac{1}{7}，-\frac{5}{7}，1）$$}}\over C}_1}=（4，0，0）$（13分）
設所求距離為d，則d=

| m ?D1 C1 |

| m |

=

4 3

15

$}}\over C}}_1}|}}{|\vec m|}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$（14分）．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，用空間向量求直線音質夾角，距離，其中（1）的關鍵是求出平面C₁DE與平面C₁DE的一個法向量的坐標，（2）的關鍵是求出異面直線EC₁與FD₁的方向向量，（3）的關鍵是異面直線距離公式d=

| m ?D1 C1 |

| m |

．