Question

已知函數f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R).
（1）若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當a≤0時，求f(x)的單調區間。

Answer 1

（1）；（2）當a≤0時，f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞增.

試題分析：（1）因為f（x）=ax²－(2a＋1)x＋2lnx，所以f′(x)＝ax?(2a+1)+．因為曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，所以f′（1）=f′（3）．由此能求出實數a．
（2）因為函數f（x）的定義域是（0，+∞），且f′（x）=，再由實數a的取值范圍進行分類討論，能夠求出f（x）的單調區間．
試題解析：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)
∵f ' (x)＝ax－(2a＋1)＋
（1）由已知函數f ' (1)＝f ' (3)a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋a＝  6分
（2）f ' (x)＝＝(x∈(0，＋∞))         8分
①當a＝0時，f ' (x)＝，由f ' (x)＞0得0＜x＜2，由f ' (x)＜0得x＞2
∴f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減                    10分
②當a＜0時，由f ' (x)＝＝0的x₁＝(舍去)，x₂＝2，由f ' (x)＞0的0＜x＜2，由f ' (x)＜0的x＞2
∴f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減              12分
綜上：當a≤0時，f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞增      13分