Question

設函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx（a，b∈R），曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2．
（1）求a，b的值；
（2）令g（x）=f（x）-3x+2，求函數(shù)g（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，建立方程組，即可a，b的值；
（2）寫出g（x）的表達式，求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到切線方程．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx過點P（1，0），
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函數(shù)f（x）=x-x²+blnx的導數(shù)為f′（x）=x-2x+

b

x

，
∵曲線y=f（x）過點P（1，0）且在點P處的切線斜率為2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3；
（2）g（x）=f（x）-3x+2=x-x²+3lnx-3x+2=-2x-x²+3lnx+2，
則g′（x）=-2-2x+

3

x

，則函數(shù)g（x）在x=1處的切線斜率為-2-2+3=-1，
切點為（1，g（1））即為（1，-1），
則切線方程為：y+1=-（x-1），
即為x+y=0．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關鍵．