Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數(shù) 是的導函數(shù)）在區(qū)間上總不是單調函數(shù)，求的取值范圍；  
(Ⅲ)求證：．

Answer 1

（Ⅰ）的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為
(Ⅱ)    (Ⅲ)先證.

解析試題分析：（Ⅰ）當時，．令得；令得，∴的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為 .
（Ⅱ） ∵∴得，
 ，，∴ 
∵在區(qū)間上總不是單調函數(shù)，且∴  
由題意知：對于任意的，恒成立，
所以，，∴.  故的取值范圍為．
（Ⅲ）證明如下： 由（Ⅰ）可知
當時，即，
∴對一切成立．
∵，則有，∴.    
.
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．
點評：本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調區(qū)間，已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程即對函數(shù)導數(shù)的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數(shù)的數(shù)學問題的處理，構造函數(shù)求解證明不等式問題．