Question

[必做題]利用空間向量的方法解決下列問題：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是BB₁，DC的中點．
（1）求AE與D₁F所成的角；
（2）證明AE⊥面A₁D₁F．

Answer 1

分析：解法一（1）利用向量的數(shù)量積求出

AE

•

D1F

=0，即可求出AE與D₁F所成的角是90°；
（2）通過（1）

AE

⊥

D1F

，以及證明AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，即可得到結論．
解法二（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出AE與D₁F的向量，通過數(shù)量積求出它們的夾角．
（2）通過數(shù)量積為0，說明

AE

⊥

D1F

，AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，得到結論．

解答：解：法一（1）設正方體的棱長為1，

AE

•

D1F

=(

AB

+

BE

)•(

D1D

+

DF

)=

AB

•

D1D

+

AB

•

DF

+

BE

•

D1D

+

BF

•

DF

=

AB

•

DF

+

BE

•

D1D

=

1

2

AB2

-

1

2

D1D

2=0
所以

AE

⊥

D1F

，即AE與D1F所成的角為90°  …（5分）
（2）由（1）

AE

⊥

D1F

，又

AE

•

A1D1

=(

AB

+

BE

)•A1D1=

AB

•

A1D1

+

BE

•

A1D1

=0，
所以AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，
所以AE⊥平面A₁D₁F．…（10分）
法二（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1，則A（1，0，0），
E（1，1，

1

2

），F(xiàn)（0，

1

2

，0），
D₁（0，0，1）D（0，0，0）
所以

AE

=(0，1，

1

2

)，

D1F

=(0，

1

2

，-1)．
可得

AE

•

D1F

=(0，1，

1

2

)•(0，

1

2

，-1)=0，
故

AE

⊥

D1F

即AE與D1F所成的角為90°
（2）

DA

=(1，0，0)=

D1A1

，且

D   1 A1

•

AE

=(1，0，0)•(0，1，

1

2

)=0
所以AE⊥A₁D₁，
又D₁F∩A₁D₁=D₁，
故AE⊥平面A₁D₁F．…（10分）

點評：本題是立體幾何證明直線與平面的垂直，直線與直線所成的角的求法，考查計算能力，空間想象能力．