Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，直線⊥x軸于點C， ，,動點到直線的距離是它到點D的距離的2倍 
（I）求點的軌跡方程；
（II）設點K為點的軌跡與x軸正半軸的交點,直線交點的軌跡于兩點（與點K均不重合）,且滿足 求直線EF在X軸上的截距；
（Ⅲ）在（II）的條件下，動點滿足,求直線的斜率的取值范圍 

Answer 1

（Ⅰ）動點M的軌跡方程為：；（Ⅱ）直線EF在X軸上的截距為   ；（Ⅲ）。

（I）依題意知,點的軌跡是以點為焦點、直線為其相應準線,
離心率為的橢圓
設橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,
又，，∴點在x軸上,且,則3，
解之得：,    
∴坐標原點為橢圓的對稱中心 
∴動點M的軌跡方程為：             
（II）設,設直線的方程為（－２〈n〈2）,代入得
                    
, 
    
，K（2，0）,,
,
 
解得: (舍)     ∴ 直線EF在X軸上的截距為   
（Ⅲ）設,由知, 
直線的斜率為            
當時,;
當時,,
時取“=”）或時取“=”），
                                
綜上所述