Question

(本題滿分15分)

已知函數f (x)=x ²+ax ，且對任意的實數x都有f (1+x)=f (1－x) 成立.

（1）求實數 a的值；

（2）利用單調性的定義證明函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數. w.

Answer 1

解析：（1）由f (1+x)=f (1－x)得，

(1＋x)²＋a(1＋x)＝(1－x)²＋a(1－x)，                         

整理得：(a＋2)x＝0，                                             

由于對任意的x都成立，∴ a＝－2.                                 （7分）

（2）根據（1）可知 f ( x )=x ²－2x，下面證明函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數.

設，則＝－  

＝（）－2（）

＝（）（－2）                            

∵，則＞0，且－2＞2－2＝0，              

∴ ＞0，即，                        

故函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數.                        （8分）