Question

如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，，，.
(Ⅰ)求證：平面平面；
(Ⅱ)設(shè)．
(ⅰ) 若直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng)；
(ⅱ) 在線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等？說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ，不存在點(diǎn).

試題分析：(Ⅰ)先證明線面垂直平面,再證明面面垂直平面⊥平面；(Ⅱ)先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，利用兩向量垂直，，列表達(dá)式，求出法向量，再由直線與平面所成的角為，得出法向量中的參量；先設(shè)存在點(diǎn)，找出的坐標(biāo)，利用距離相等，列出表達(dá)式，看方程是否有根來判斷是否存在點(diǎn).
試題解析：解法一：
(Ⅰ)證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020851727394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以平面⊥平面.                 3分
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖)．

在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，則.
在中，，
.
設(shè)，則，．
由得，
所以，，，
，．                 5分
(ⅰ)設(shè)平面的法向量為．
由，，得
取，得平面的一個(gè)法向量．
又，故由直線與平面所成的角為得
，即.
解得或 (舍去，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020853271628.png" style="vertical-align:middle;" />)，所以.          7分
(ⅱ)假設(shè)在線段上存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等．
設(shè) (其中)．
則，，
．
由，得，
即；①
由，得. ②
由①、②消去，化簡(jiǎn)得. ③
由于方程③沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等．
從而，在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，
使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等．              12分
解法二：
(Ⅰ)同解法一：
(Ⅱ)(ⅰ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖)．

在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，
則，
在中，
，
.
設(shè)，則，．
由得.
所以，，，
，．                 5分
設(shè)平面的法向量為．
由，，得
取，得平面的一個(gè)法向量．
又，故由直線與平面所成的角為得
，即.
解得或 (舍去，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020853271628.png" style="vertical-align:middle;" />)，所以.          7分
(ⅱ)假設(shè)在線段上存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等．

由 ，得，
從而，即，
所以.
設(shè)，則，.
在中，
，這與矛盾．
所以在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離都相等．
從而，在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等