Question

【題目】已知數列{an}滿足 ，an+1bn=bn+1an+bn ， 且 （n∈N*），則數列{an}的前2n項和S2n取最大值時，n= ．

Answer 1

【答案】8
【解析】解：由 （n∈N*），則bn= ， 由an+1bn=bn+1an+bn ， 當n=2k﹣1（k∈N*）為奇數時，﹣2a2k=3a2k﹣1﹣2，
當n=2k（k∈N*）為偶數時，3a2k+1=﹣2a2k+3，
∴3a2k+1=3a2k﹣1+1，
∴a2k+1﹣a2k﹣1= ．因此數列{a2k﹣1}成等差數列，公差為 ，首項為﹣ ．
∴ a2k﹣1= + = ﹣ ．
同理可得：a2k+2﹣a2k=﹣ ．因此數列{a2k}成等差數列，公差為﹣ ，首項為 ．
∴ = ×n﹣ × = +2n．
∴S2n= ﹣ +2n=﹣ + n=﹣ （n﹣8）2+ ．
∴當n=8時，數列{an}的前2n項和S2n取最大值 時．
所以答案是：8．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．