Question

已知冪函數f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調增函數
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g(x)=

1

4

f(x)+ax3+

9

2

x2-b(x∈R)，其中a，b∈R．若函數g（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數，結合冪函數的性質得出-m²+2m+3＞0，據此求得m的值，從而得到函數f（x）的解析式．
（2）先求導數：g'（x）=x（x²+3ax+9），為使g（x）僅在x=0處有極值，必須x²+3ax+9≥0恒成立，再利用二次函數的根的判斷式即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數，
∴-m²+2m+3＞0即m²-2m-3＜0∴-1＜m＜3，又m∈z，∴m=0，1，2
而m=0，2時，f（x）=x³不是偶函數，m=1時，f（x）=x⁴是偶函數，∴f（x）=x⁴．
（2）g'（x）=x（x²+3ax+9），顯然x=0不是方程x²+3ax+9=0的根．
為使g（x）僅在x=0處有極值，必須x²+3ax+9≥0恒成立，
即有△=9a²-36≤0，解不等式，得a∈[-2，2]．
這時，g（0）=-b是唯一極值．∴a∈[-2，2]．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．