Question

已知冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=2

f(x)

-qx+q-1，若g（x）＞0對任意x∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)q的取值范圍．

Answer 1

分析：1）由冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，可得-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數(shù)，解不等式可得結(jié)合，m∈Z可求m的取值
（2）由（1）可得，g(x)=2

f(x)

-qx+q-1=2x²-qx+q-1＞0，q（1-x）＞1-2x²，結(jié)合-1≤x≤1可得x≠1時q≥

1-2x2

1-x

在[-1，1]上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為求h（x）=

1-2x2

1-x

在[-1，1]上的最大值即可

解答：解：（1）由冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數(shù)
解不等式可得，-1＜m＜3，m∈Z
∴m=0，1，2
當m=0時，-m²+2m+3=3（舍）
當m=1時，-m²+2m+3=4
當m=2時，-m²+2m+3=3（舍）
故m=1，f（x）=x⁴
（2）由（1）可得，g(x)=2

f(x)

-qx+q-1=2x²-qx+q-1＞0
q（1-x）＞1-2x²
-1≤x≤1
x≠1時，q≥

1-2x2

1-x

在[-1，1]上恒成立
令h（x）=

1-2x2

1-x

=-[2（1-x）+

1

1-x

]+4≤4-2

2

q≥4-2

2

點評：本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)可應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，可得-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數(shù)，而函數(shù)的恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，注意構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用．