Question

如圖，已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓經過點（，），且它的左焦點F₁將長軸分成2∶1，F₂是橢圓的右焦點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）設P是橢圓上不同于左右頂點的動點，延長F₁P至Q，使Q、F₂關于∠F₁PF₂的外角平分線l對稱，求F₂Q與l的交點M的軌跡方程．

Answer 1

 解：（1）設橢圓的方程為（a>b>0），半焦距為c，則a²-b²=c²，
∵ 橢圓經過點（，），
∴ ．
又∵ 它的左焦點F將長軸分成2∶1，
∴ (a+c)∶(a-c)=2∶1，整理得a=3c．
聯立①②③，即 解得a²=36，b²=32，c²=4．
∴ 橢圓的標準方程為．           ……………………4分
（2）∵ Q、F₂關于∠F₁PF₂的外角平分線l對稱，
∴ |PQ|=|PF₂|，且M是F₂Q的中點．
由橢圓的定義知|PF₁|+|PF₂|=12，
∴ |PF₁|+|PQ|=12，即|F₁Q|=12，
∴ Q的軌跡是以F₁(-2，0)為圓心，12為半徑的圓（除去與x軸的兩個交點），其軌跡方程為(x+2)²+y²=144（y≠0）． …………………7分
設M(x，y)，Q(a，b)，由（1）知F₂(2，0)，
∴   可整理得a=2x-2，b=2y，
∵ Q(a，b)在圓(x+2)²+y²=144（y≠0）上運動，
∴ (2x-2+2)²+(2y)²=144，即x²+y²=36．
∴ M的軌跡方程為x²+y²=36（y≠0）．      ……………………10分

略