Question

學校食堂改建一個開水房，計劃用電爐或煤炭燒水，但用煤時也要用電鼓風及時排氣，用煤燒開水每噸開水費用為S元，用電爐燒開水每噸開水費用為P元，S=5y+0.2x+5，P=10.2x+20

76-x

，其中y為每噸煤的價格，x為每百度電的價格．如果燒煤時的費用不超過用電爐時的費用，則仍用原備的鍋爐燒水，否則就用電爐燒水．
（1）如果兩種方法燒水費用相同，試將每噸煤的價格y表示為每百度電價x的函數；
（2）如果每百度電價不低于60元，則用煤燒時每噸煤的最高價是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中用煤燒開水每噸開水費用為S元，用電爐燒開水每噸開水費用為P元，S=5y+0.2x+5，P=10.2x+20

76-x

，根據兩種方法燒水費用相同，即S=P，可得5y+0.2x+5=10.2x+20

76-x

整理可得答案；
（2）如果每百度電價不低于60元，結合（1）中x的取值范圍，利用換元法，將函數轉化為一個二次型函數的形式，進而根據二次型函數的圖象與性質，即可得到答案．

解答：解：（1）若兩種方法燒水費用相同，即S=P，
即5y+0.2x+5=10.2x+20

76-x

…（2分）
得y=2x+4

76-x

-1，0＜x≤76…（4分）
（定義域不寫或寫錯，扣1分）
（2）當x≥60時，60≤x≤76   …（6分）
設

76-x

=t，則0≤t≤4…（8分）
由題意知，y≤2（76-t²）+4t-1=-2（t-1）²+153…（10分）
（寫y=2（76-t²）+4t-1=-2（t-1）²+153，扣1分）
當t=1即x=75時，y_max=153．   …（12分）
答：用煤燒時每噸煤的最高價是153元．…（14分）（不答扣2分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，二次函數的性質，其中（1）的關鍵是由兩種方法燒水費用相同，即S=P，得到兩個變量的關系式，（2）的關鍵是利用換元法將函數的解析式，化為二次型函數的形式，解答時要注意實際情況對自變量x的取值范圍的限制．