回答下列兩個問題，給出例子或給出證明。

（1）對任意正整數n，在平面上是否都存在n伸不在同一條直線上的點，使得任意兩點間的距離都為正整數？

（2）在平面上是否存在兩兩不同的無限點列組成的點集M，使得M內所有點不在同一條直線上，且M內任意兩點間的距離為正整數？

解析：（1）存在，對于n∈N⁺，取互不相同的n個質數P₁，P₂，…，P_n，

令a_i=P₁P₂…P_i，b_i=P_i+1P_i+2…P_n，（i=1，2，…n－1），顯然a_i，b_i∈N⁺，

令m=P₁P₂…P_n，于是m=a_ib_i（i=1，2，…，n－1）

在y軸上取點A（0，2m），在x軸上取點，易知這n個點A，B₁，B₂，…，B_n_－1不在同一條直線上，且

（2）不存在，不然，假高存在不共線的無限點列組成的點集M，且M內任意兩點間的距離都為正整數，取不共線的三點A、B、C∈M，注意到三角形兩邊之差之絕對值小于第三邊，則M內其余點到點A與點B的距離之差，只能取－|AB|到|AB|之間的整數值，而－AB到AB之間的整數值總共只有有限個，由雙曲線定義可知，M內除去A、B、C三點的其余無限多個點必在以點A和點B為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上，稱它們為AB族雙曲線，同理，M內除去A、B、C三點的其余無限多個點必在以點B和點C為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上，稱它們為BC族雙曲線。

由于A、B、C三點不共線，故兩族雙曲線的交點顯然只有有限個，然而M內除去A、B、C三點的其余無限多個點中的每個點既在AB族雙曲線上，又在BC族雙曲線，從而必在兩族雙曲線的交點上，而兩族雙曲線的交點個數有限，矛盾？

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•金山區二模）（1）設u、v為實數，證明：u²+v²≥

(u+v)2

；（2）請先閱讀下列材料，然后根據要求回答問題．
材料：已知△LMN內接于邊長為1的正三角形ABC，求證：△LMN中至少有一邊的長不小于

．
證明：線段AN、AL、BL、BM、CM、CN的長分別設為a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，設LN、LM、MN的長為x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
請利用（1）的結論，把證明過程補充完整；
（3）已知n邊形A₁′A₂′A₃′…A_n′內接于邊長為1的正n邊形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考會有相應的什么結論？請提出一個的命題，并給與正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2009•金山區二模）設函數f（x）=x²+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）請先閱讀下列材料，然后回答問題．
材料：已知函數g（x）=-

f(x)

，問函數g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．一個同學給出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x²-x，則u=-（x+

）²+

，
當x=-

時，u有最大值，u_max=

，顯然u沒有最小值，
∴當x=-

時，g（x）有最小值4，沒有最大值．
請回答：上述解答是否正確？若不正確，請給出正確的解答；
（3）設a_n=

f(n)

2n-1