Question

【題目】如圖所示，在三棱錐A﹣BCD中，側(cè)面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊且AD= ，BD=CD=1，另一側(cè)面ABC是正三角形．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）若在線段AC上存在一點E，使ED與平面BCD成30°角，試求二面角A﹣BD﹣E的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC的中點O，連結(jié)AO，DO，

∵BD=CD，AB=AC，

∴AO⊥BC，OD⊥BC，又OA∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD，

又AD平面AOD，

∴AD⊥BC

（2）解：在平面AOD中，過O作OD的垂線Oz，則OC，OD，Oz兩兩垂直，

以O(shè)為原點，以O(shè)C，OD，Oz為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

∵BD=CD=1，AD= ，AC⊥CD，AB⊥BD，△ABC是等邊三角形，

∴BC=AB=AC= ，∴OD= BC= ，OA= ，

∴cos∠AOD= =﹣ ，

∴A（0，﹣ ，1），C（ ，0，0），D（0， ，0），

∴ =（﹣ ，﹣ ，1）， =（ ，﹣ ，0），設(shè) =（﹣ λ，﹣ λ，λ），

則 = =（ ﹣ λ，﹣ ﹣ λ，λ），

∵平面BCD的一個法向量為 ，

∵ED與平面BCD成30°角，

∴cos＜ ， ＞= = = ，解得λ= ，

∴ =（ ，﹣ ， ），又B（﹣ ，0，0），

∴ =（ ，﹣ ，1）， =（ ， ，0），

設(shè)平面BDE的法向量 =（x，y，z），則 ，即 ，

令y=﹣1則 =（1，﹣1，﹣2），同理可得平面ABD的法向量為 =（1，﹣1，﹣ ），

∴ = = = ，設(shè)平面ABD與平面ACD成角為θ，

則 ，

∴ ．

【解析】（1）取BC的中點O，連結(jié)AO，DO，由三線合一可得BC⊥OD，BC⊥AO，故而BC⊥平面AOD，于是BC⊥AD；（2）以O(shè)為原點建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)ED與平面BCD成30°角得出E點坐標(biāo)，求出平面ABD與平面BDE的法向量，計算法向量的夾角即可得出二面角的大小．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．