Question

在數列{a_n}中，若a₁，a₂是正整數，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，則稱{a_n}為“絕對差數列”．
（Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”（只要求寫出前十項）；
（Ⅱ）若“絕對差數列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，數列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分別判斷當n→∞時，a_n與b_n的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；
（Ⅲ）證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據a₁，a₂是正整數，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，能夠舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”．
（Ⅱ）由絕對差數列{a_n}中a₂₀=3，a₂₁=0，利用a_n=|a_n-1-a_n-2|，知該數列自第20項開始．每三個相鄰的項周期地取值3，0，3．所以

lim

n→∞

a_n不存在．

lim

n→∞

bn=6．
（Ⅲ）根據定義，數列{a_n}必在有限項后出現零項．再由反證法進行證明{a_n}必有零項．若第一次出現的零項為第n項，記a_n-1=A（A≠0），則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，由此知絕對差數列{a_n}中有無窮多個為零的項．

解答：解：（Ⅰ）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．（答案不惟一）
（Ⅱ）因為在絕對差數列{a_n}中a₂₀=3，a₂₁=0．所以自第20項開始，該數列是a₂₀=3，a₂₁=0，a₂₂=3，a₂₂=3，a₂₄=0，a₂₅=3，a₂₆=3，a₂₇=o，
即自第20項開始．每三個相鄰的項周期地取值3，0，3．所以當n→∞時，a_n的極限不存在．
當n≥20時，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6，
所以

lim

n→∞

bn=6
（Ⅲ）證明：根據定義，數列{a_n}必在有限項后出現零項．證明如下：
假設{a_n}中沒有零項，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，
所以對于任意的n，都有a_n≥1，從而
當a_n-1＞a_n-2時，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）；
當a_n-1＜a_n-2時，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．
令Cn=

a2n-1(a2n-1＞a2n) a2n(a2n-1＜a2n)

n=1，2，3，，
則0＜C_A≤C_n-1-1（n=2，3，4，）．
由于C₁是確定的正整數，這樣減少下去，必然存在某項C₁＜0，這與C_n＞0（n=1，2，3，，）
矛盾．
從而{a_n}必有零項．
若第一次出現的零項為第n項，記a_n-1=A（A≠0），
則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，
即

an+3k=0 an+3k+1=A，k=0，1，2，3 an+3k+2=A

所以絕對差數列{a_n}中有無窮多個為零的項．

點評：本題考查數列的極限和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．