Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+b滿足f（1）=0，且在x=2時函數取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）求函數f（x）在區間[0，t]（t＞0）上的最大值g（t）的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+ax2+b，

∴f′（x）=3x2+2ax，

∵函數f（x）在x=2時函數取得極值，

∴f′（2）=0，即12+4a=0，

∴a=﹣3，

又∵f（1）=1﹣3+b=0，

∴b=2，

綜上a=﹣3、b=2

（2）解：由（1）可知f（x）=x3﹣3x2+2，

∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），

∵x＜0時，f′（x）＞0，

∴函數f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增；

∵0＜x＜2時，f′（x）＜0，

∴函數f（x）在（0，2）上單調遞減；

∵x＞2時，f′（x）＞0，

∴函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增；

∴函數f（x）的單調遞減區間為：（0，2），

單調遞增區間為：（﹣∞，0）∪（2，+∞）

（3）解：令f（x）=f（0），即x3﹣3x2+2=2，

解得：x=0或x=3，

∵函數f（x）在（0，2）上單調遞減，

∴當t∈（0，2]時，g（t）=f（0）=2；

∵函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增，且f（3）=f（0）=2，

∴當t∈（2，3]時，g（t）=f（3）=2；

當t∈（3，+∞）時，g（t）=f（t）=t3﹣3t2+2；

綜上所述，g（t）= ．

【解析】（1）通過f′（2）=0及f（1）=0，計算即得結論；（2）通過對函數f（x）=x3﹣3x2+2求導，進而可判斷單調區間；（3）通過函數在[0，+∞）上的單調性，結合最值的概念，畫出草圖，計算即得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．