Question

【題目】已知函數有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數.

（1）已知，，，利用上述性質，求函數的單調區間和值域.

（2）對于（1）中的函數和函數，若對于任意的，總存在，使得成立，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）遞減區間為，遞增區間為，值域為；（2）

【解析】

（1）把函數解析式中的分母變形為，利用分式的計算公式，函數解析式變形為，用進行換元，得到新解析式為這樣根據已知所給的函數性質可以求出函數的單調區間和值域.

（2）由題意可知的值域為的值域的子集，這樣可以求出實數的值.

（1），

設，，則，則，，由已知性質得，

當，即時，單調遞減，所以遞減區間為，

當，即時，單調遞增，所以遞增區間為，

由，，，

得的值域為.

（2）由于為減函數，故，，由題意，的值域為的值域的子集，從而有所以.