Question

已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，定點P，點在線段的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線與橢圓C交于M、N兩點，直線的傾斜角分別為，求證：直線過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

⑴由橢圓C的離心率得，其中，
橢圓C的左、右焦點分別為又點在線段的中垂線上
∴，∴解得c＝1，a2＝2，b2＝1，
∴橢圓的方程為　．   
⑵由題意，知直線MN存在斜率，設其方程為y＝kx＋m
由消去y，得（）＋4kmx＋＝0．
設M（），N（），則，
且，  
由已知α＋β＝π，得，即
化簡，得
∴。整理得m＝－2k．

略