Question

已知函數f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0），在區間[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若b＜1，g（x）=f（x）-（2^m）•x在[2，4]上單調，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數對稱軸為x=2，當a＞0時，函數開口向上，在區間[2，3]單增，則可知在2處去最小值，在處去最大值，分類討論即可求出a，b的值；
（2）若b＜1，則根據（1）中求得值，即可確定a，b的值，從而求出函數g（x）解析式，根據函數的單調性，可求出m的取值范圍．

解答：解（1）f（x）=a（x-1）²+2+b-a
①當a＞0時，f（x）在[2，3]上為增函數
故

f(3)=2 f(2)=5

   ?   

9a-6a+2+b=5 4a-4a+2+b=2

  ?

a=1 b=0

②當a＜0時，f（x）在[2，3]上為減函數
故

f(3)=2 f(2)=2

?

9a-6a+2+b=2 4a-4a+2+b=5

?

a=-1 b=3

（2）∵b＜1
∴a=1b=0即f（x）=x²-2x+2g（x）=x²-2x+2-（2^m）x=x²-（2+2^m）x+2

2+2m

2

≤2或

2m+2

2

≥4，
∴2^m≤2或2^m≥6，即m≤1或m≥log₂⁶

點評：此題主要考查函數的單調性及最值的計算．