Question

一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別涂有1，2，3，4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為x₁，x₂，記ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
（1）分別求出ξ取得最大值和最小值時(shí)的概率；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知擲出點(diǎn)數(shù)x可能是：1，2，3，4．得到要用的代數(shù)式的值，得到ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．理解變量取不同值時(shí)對應(yīng)的事件，做出概率．
（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8，理解變量取不同值時(shí)對應(yīng)的事件，做出概率，寫出變量的分布列，求出期望，本題變量取值較多，解題時(shí)要注意運(yùn)算，避免出錯．

解答：解：（1）擲出點(diǎn)數(shù)x可能是：1，2，3，4．
則x-3分別得：-2，-1，0，1．
于是（x-3）²的所有取值分別為：0，1，4．
因此ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．
當(dāng)x₁=1且x₂=1時(shí)，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最大值8，
此時(shí)，P(ξ=8)=

1

4

×

1

4

=

1

16

；
當(dāng)x₁=3且x₂=3時(shí)，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最小值0．
此時(shí)，P(ξ=0)=

1

4

×

1

4

=

1

16

．
P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；

（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．
當(dāng)ξ=1時(shí)，（x₁，x₂）的所有取值為（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．
即P(ξ=1)=

4

16

；
當(dāng)ξ=2時(shí)，（x₁，x₂）的所有取值為（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．
即P(ξ=2)=

4

16

；
當(dāng)ξ=4時(shí)，（x₁，x₂）的所有取值為（1，3）、（3，1）．
即P(ξ=4)=

2

16

；
當(dāng)ξ=5時(shí)，（x₁，x₂）的所有取值為（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．
即P(ξ=5)=

4

16

．
P(ξ=8)=

1

16

∴ξ的分布列為：

所以Eξ=1×

1

4

+2×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

4

+8×

1

16

=3

點(diǎn)評：概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價(jià)身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象．適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機(jī)會，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與統(tǒng)計(jì)有關(guān)的實(shí)例．