Question

一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1，2，3，4四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數字分別為x₁，x₂，記ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
（1）分別求出ξ取得最大值和最小值時的概率；
（2）求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知擲出點數x可能是：1，2，3，4．得到要用的代數式的值，得到ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．理解變量取不同值時對應的事件，做出概率．
（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．，理解變量取不同值時對應的事件，做出概率，寫出變量的分布列，求出期望，本題變量取值較多，解題時要注意運算，避免出錯．
解答：解：（1）擲出點數x可能是：1，2，3，4．
則x-3分別得：-2，-1，0，1．
于是（x-3）²的所有取值分別為：0，1，4．
因此ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．
當x₁=1且x₂=1時，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最大值8，
此時，；
當x₁=3且x₂=3時，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最小值0．
此時，．
；

（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．
當ξ=1時，（x₁，x₂）的所有取值為（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．
即；
當ξ=2時，（x₁，x₂）的所有取值為（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．
即；
當ξ=4時，（x₁，x₂）的所有取值為（1，3）、（3，1）．
即；
當ξ=5時，（x₁，x₂）的所有取值為（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．
即．

∴ξ的分布列為：

所以Eξ==3
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