Question

有A，B兩個盒子，A盒中裝有3個紅球，2個黑球，B盒中裝有2個紅球，3個黑球，現從A，B兩個盒子中各取2個球互換，假定取到每個球是等可能的．
（Ⅰ）求B盒中紅球個數不變的概率；
（Ⅱ）互換2球后，B盒中紅球的個數記為ξ，寫出ξ的分布列，并求出ξ的期望E（ξ）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）事件“B盒中紅球個數不變”可以分解為：①從A，B兩個盒子中各取2個黑球；②從A，B兩個盒子中各取1個黑球、1個紅球；③從A，B兩個盒子中各取2個紅球；按這三種情況分類討論，分別求出相應的概率，最后用概率的加法公式，即可求出B盒中紅球個數不變的概率；
（Ⅱ）首先分別求出ξ=0、1、2時的概率，寫出ξ的分布列；然后用ξ的值分別乘以相應的概率，求和即可求出ξ的期望E（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）①從A，B兩個盒子中各取2個黑球的概率為：

C 2 2 •C 2 3

C 2 5 •C 2 5

=

1×3

10×10

=

3

100

=0.03；
②從A，B兩個盒子中各取1個黑球、1個紅球的概率為：

C 1 3 C 1 2 •C 1 2 C 1 3

C 2 5 •C 2 5

=0.36；
③從A，B兩個盒子中各取2個紅球的概率為：

C 2 3 •C 2 2

C 2 5 •C 2 5

=0.03；
所以B盒中紅球個數不變的概率為：0.03+0.36+0.03=0.42；
（Ⅱ）互換2球后，B盒中紅球的個數記為ξ，
則P（ξ=0）=

C 2 2 •C 2 2

C 2 5 •C 2 5

=0.01，
P（ξ=1）=

C 2 2 •C 1 2 C 1 3

C 2 5 •C 2 5

+

C 1 3 C 1 2 •C 2 2

C 2 5 •C 2 5

=0.12，
P（ξ=2）=0.42，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	0.01	0.12	0.42

所以ξ的期望E（ξ）=0×0.01+1×0.12+2×0.42=0.96．

點評：本題主要考查等可能事件的概率，以及離散型隨機變量及分布列和離散型隨機變量的期望的求法，屬于中檔題．