Question

已知命題p：“方程

x2

1 2

+

y2

a

=1是焦點在y軸上的橢圓”，命題q：“關于x的方程ax²+2x+1=0至少有一個負實根”．若“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

若命題p為真命題?a＞

1

2

．…3分
關于x的方程ax²+2x+1=0至少有一個負實根
?關于x的方程ax²+2x+1=0有兩個負實根或一正一負兩根或只有一根且為負數．…5分
①方程有兩個負實根?

a≠0 △=4-4a≥0 - 2 a ＜0 1 a ＞0

?0＜a≤1；…7分
②方程有一正一負兩根?a＜0；…9分
③方程只有一個根且為負數?a=0．…10分
故命題q為真命題?a≤1．…11分
因為“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，
所以命題p與q恰有一個為真命題．…12分
若p真q假，則a＞1；若p假q真，則a≤

1

2

．…13分
故實數a的取值范圍是(-∞，

1

2

]∪(1，+∞)．…14分