Question

【題目】點A、B、C是拋物線y2=4x上不同的三點，若點F（1，0）滿足 ，則△ABF面積的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：拋物線焦點坐標F（1，0），準線方程：x=﹣1
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），直線AB與x軸交于點D（m，0），
∵ ，∴m=﹣
∵點F（1，0）滿足 ，
∴點F是△ABC重心，
∴x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，
∴y12+y22=12﹣y32 ， y1+y2=﹣y3 ，
∴2y1y2=（y1+y2）2﹣（y12+y22）=2y32﹣12
∴S△ABF2= （1+ ）2（y1﹣y2）2= （﹣ + y32）2（24﹣3y32）
令y32=t≥0，y=（﹣2+t）2（8﹣t）
令y′=0，則t1=2，t2=6．
當t∈（0，2）時函數單調遞減，當t∈（2，6）時函數單調遞增，t∈（6，+∞）時函數單調遞減且當t=0時y= ，當t=6時y= ，
∴ymax= ．
∴△ABF面積的最大值為 ．
故選：A．