Question

已知函數f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時，f（x）=log₂x．
（1）當x＜0時，求函數f（x）的表達式；
（2）若g（x）=2^x（x∈R），集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16}，試判斷集合A和B的關系；
（3）已知對于任意的k∈N，不等式2^k≥k+1恒成立，求證：函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點．

Answer 1

分析：（1）根據函數為奇函數可推斷出f（-x）=-f（x）進而根據x＞0時函數的解析式，求得x＜0時，函數的解析式．
（2）根據f（x）和g（x）的解析式，根據對數函數和指數函數的單調性，利用集合的條件分別求得集合A和集合B，進而可判斷出二者的關系．
（3）根據對稱性，只要證明函數f（x）的圖象與直線y=x在x∈（0，+∞）上無交點即可，分x∈（0，1]和x∈（2^k，2^k+_1）（k∈N）兩種情況，討論函數y₁=log₂x，y₂=x圖象的位置關系，可得答案．

解答：解：（1）∵函數f（x）為奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∵當x＞0時，f（x）=log₂x
∴當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-log₂（-x）
（2）∵當x＞0時，f（x）=log₂x≥2，解得x≥4
當x＜0時，f（x）=-log₂（-x）≥2，解得-

1

4

≤x＜0
∴集合A={x|x≥4或-

1

4

≤x＜0}，
依題意2^x≥16，解得x≥4，
∴集合B={x|x≥4}，
∴A是B的真子集；
（3）根據對稱性，只要證明函數f（x）的圖象與直線y=x在x∈（0，+∞）上無交點即可
令x∈（0，+∞），函數y₁=log₂x，y₂=x
當x∈（0，1]，y₁≤0，y₂＞0，則y₁＜y₂，
當x∈（2^k，2^k+_1）（k∈N）時，y₁≤k+1，y₂＞2^k≥k+1，則y₁＜y₂，
則（0，+∞）上直線y=x始終在函數f（x）的圖象下方
綜上所述，函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點

點評：本題主要考查了對數函數和指數函數的性質．考查了學生對對數函數綜合性的把握和理解．