Question

【題目】已知點P（ ， ）在橢圓E： + =1（a＞b＞0）上，F為右焦點，PF垂直于x軸，A，B，C，D為橢圓上四個動點，且AC，BD交于原點O．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），滿足 = ，判斷kAB+kBC的值是否為定值，若是，求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：PF垂直于x軸，則c= ， = ，即a=2b2 ，
a2﹣b2=c2=3，
則a=2，b=1，
∴橢圓的標準方程： ；
（Ⅱ）∵ = ，4y1y2=x1x2 ，
若直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0時），不滿足4y1y2=x1x2；
直線AB的斜率存在且不為0時，設直線方程為y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
聯立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．
△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2﹣m2+1）＞0，①
x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∵4y1y2=x1x2 ， 又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 ，
∴（4k2﹣1）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=0，
即（4k2﹣1） +4km（﹣ ）+4m2=0．
整理得：k=± ．
∵A、B、C、D的位置可以輪換，
∴AB、BC的斜率一個是 ，另一個就是﹣ ．
∴kAB+kBC= ﹣ =0，是定值．
不妨設kAB=﹣ ，則x1+x2=2m，x1x2=2（m2﹣1）．
設原點到直線AB的距離為d，則S△AOB= |AB|d= |x1﹣x2|
= = ≤1．
當m2=1時滿足①取等號．
∴S四邊形ABCD=4S△AOB≤4，即四邊形ABCD面積的最大值為4．
∴四邊形ABCD面積的最大值為4．
【解析】（Ⅰ）由題意可知a=2b2 ， a2﹣b2=c2=3，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）由4y1y2=x1x2 ， 當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用根與系數的關系求得A，B的橫坐標的和與積，結合4y1y2=x1x2 ， 求得k，把三角形AOB的面積化為關于m的函數，利用基本不等式求其最值，進一步得到四邊形ABCD面積的最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．