Question

（1）已知直線C1：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數），C2：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數）．
（Ⅰ）當α=

π

3

時，求C₁與C₂的交點坐標；
（Ⅱ）過坐標原點O做C₁的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數方程．
（2）已知正實數a、b、c滿足a²+4b²+c²=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）分別消去直線C₁、曲線C₂參數，Z在把α代入聯立即可得出；
（Ⅱ）由直線OA⊥直線C₁，可得出直線OA的方程，與直線C₁的方程聯立即可求出點A的坐標，再利用中點坐標公式即可求出線段OA的中點P的參數方程．
（2）（Ⅰ）利用柯西不等式即可求出；
（Ⅱ）對于滿足條件的正實數a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立?|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max，利用（Ⅰ）的結論，再解出絕對值的不等式即可得出x的取值范圍．

解答：解：（1）（Ⅰ）由直線C1：

x=1+tcosα y=tsinα

消去參數t得y=tanα（x-1），當α=

π

3

時，y=

3

(x-1)，
由曲線C2：

x=cosθ y=sinθ

消去參數θ得x²+y²=1，
聯立

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，消去y化為2x²-3x+1=0，解得x=1或

1

2

，
分別代入y=

3

(x-1)解得y=0，-

3

2

，∴

x=1 y=0

或

x= 1 2 y=- 3 2

，
∴C₁與C₂的交點坐標為（1，0），(

1

2

，-

3

2

)；
（Ⅱ）∵OA⊥直線C₁，∴直線OA的方程為y=-

1

tanα

x，
聯立

y=- x tanx y=tanα(x-1)

解得

x=sin2α y=-sinαcosα

．
當α時，由中點坐標公式可得點P的參數方程為

x= 1 2 sin2α y=- 1 2 sinαcosα

（α為參數）．
（2）（I）由柯西不等式得：（a²+4b²+c²）（1+1+1）≥（a+2b+c）²
又a、b、c為正實數，∴a+2b+c≤3．
當且僅當a=2b=c，即a=c=1，b=

1

2

時取等號．
∴（a+2b+c）_max=3．  
（II）若對于滿足條件的正實數a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立．
則|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max，
即|x-5|-|x-1|≥3．
記f（x）=|x-5|-|x-1|=

4，當x＜1時 -2x+6，當1≤x≤5時 -4，當x＞5時

，
作函數的圖象如圖所示：
由-2x+6=3，得x=

3

2

，
由圖象知，實數x滿足的區間為(-∞，

3

2

]．

點評：熟練掌握把參數方程化為普通方程的方法、相互垂直的直線的斜率之間的關系、中點坐標公式、柯西不等式及恒成立問題的等價轉化、解絕對值不等式的分類討論方法是解題的關鍵．