Question

【題目】如圖所示，直平行六面體的所有棱長都為2，，過體對角線的截面S與棱和分別交于點E、F，給出下列命題中：

①四邊形的面積最小值為；

②直線EF與平面所成角的最大值為；

③四棱錐的體積為定值；

④點到截面S的距離的最小值為.

其中，所有真命題的序號為（ ）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①分析可得當為為棱的中點時,四邊形的面積最小,求解即可；

②過點的平面的垂線交平面于點,轉化直線EF與平面所成角最大為直線與直線的夾角最小,進而求解即可；

③轉化四棱錐的體積為以平面和平面為底的三棱錐的體積的和,進而求證即可；

④分析可得當點與點重合,點與點重合時四邊形的面積最大,此時點到截面S的距離的最小,進而求解即可

由題,因為過體對角線,則由對稱性易得四邊形是平行四邊形,

連接,,且交于點,過點作的垂線,垂足為,

則若四邊形面積最小,即最小,

即為棱到平面的距離,即為長,

因為,則,

所以,

則,

又,

所以,此時為棱的中點,故①正確；

過點的平面的垂線交平面于點,則即為點到平面的距離,根據底面菱形的性質,可得,

若直線EF與平面所成角最大,則直線與直線的夾角最小,即最小,此時最大,即最小,

即時,故,則,

則直線EF與平面所成角最大為,故②錯誤；

設點到平面,平面的距離分別為,即從點分別向作垂線即可,由菱形可得,

,

為定值,故③正確；

因為四棱錐的體積為定值,

所以若點到截面S的距離的最小,則截面的面積最大,即四邊形面積最大,即最大,則當點與點重合,點與點重合時符合條件,此時在中,,,則,則,

所以,此時,

設點到截面S的距離為,則,所以,故④正確

綜上,①③④正確,

故選：B