Question

在如圖所示的直角坐標系中，B為單位圓在第一象限內圓弧上的動點，A（1，0），設∠AOB=x(0＜x＜

π

2

)，過B作直線BC∥OA，并交直線y=-

3

3

x于點C．
（1）求點C的坐標 （用含x的式子表示）；
（2）試求△ABC的面積的最大值，并求出相應x值．

Answer 1

分析：（1）確定B的坐標，利用過B作直線BC∥OA，并交直線y=-

3

3

x于點C，可得點C的坐標；
（2）表示出△ABC的面積，利用輔助角公式化簡，結合角的范圍，即可得到結論．

解答：解：（1）根據三角函數的定義，可知B（cosx，sinx）
∵BC∥OA
∴C點縱坐標為y_C=sinx
將y_C代入直線y=-

3

3

x，得：x_C=-

3

sinx
∴點C（-

3

sinx，sinx）；
（2）∵BC∥OA，
∴A到BC的距離為sinx
∵|BC|=cosx+

3

sinx
∴S_△ABC=

1

2

|BC|sinx=

1

2

（cosx+

3

sinx）sinx=

1

2

sin（2x-

π

3

）+

3

4

∵0＜x＜

π

2

∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

∴當2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，S_△ABC取得最大值為

1

2

+

3

4

．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查三角函數的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．