Question

如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側面底面，．

（1）求側棱與平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知點滿足，在直線上是否存在點，使？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在點，使.

【解析】

試題分析：（1）首先根據幾何體的性質建立空間直角坐標系，利用“側棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角”，借助向量夾角公式進行計算；（2）假設存在點P滿足，設出其坐標，然后根據建立等量關系，確定P點坐標即可.

試題解析：（1)∵側面底面，作于點，∴平面．

又，且各棱長都相等，∴，，．                                               2分

故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

，，，，

∴，，

．  4分

設平面的法向量為，

則   

解得．由．

而側棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，

∴側棱與平面所成角的正弦值的大小為                  6分

（2）∵，而 

∴

又∵，∴點的坐標為．

假設存在點符合題意，則點的坐標可設為，∴．

∵，為平面的法向量，

∴由，得．             10分

又平面，故存在點，

使，其坐標為，

即恰好為點．                  12分

考點：1.線面角；2.線面平行；（3）空間向量的應用.