Question

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-ABC中，側面AACC⊥底面ABC，

∠AAC=60°.(Ⅰ)求側棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大小；

(Ⅱ)已知點D滿足，在直線AA上是否存在點P，使DP∥平面ABC？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 略

解析:

：(Ⅰ)∵側面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點O，

∴A₁O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱長都相等，

∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC.………………2分

故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則

A(0，-1，0)，B(，0，0)，A₁(0，0，)，C(0，1，0)，；

∴.…………………4分

設平面AB₁C的法向量為n=(x,y,1)

則解得n=(-1,0,1).………6分

由cos<>=

而側棱AA₁與平面AB₁C所成角，即是向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，

∴側棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小為………6分

(Ⅱ)∵而∴。…8分

又∵B(，0，0)，∴點D的坐標為D(-，0，0).

假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P(0，y，z).

∴∵DP∥平面AB₁C，n=(-1，0，1)為平面AB₁C的法向量，

∴由，得……11分

又DP平面AB₁C，

故存在點P，使DP∥平面AB₁C，其從標為(0，0，)，即恰好為A₁點.………12分