Question

函數(shù)y=log_a（x²-ax+2）在[2，+∞）恒為正，則實(shí)數(shù)a的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得x²-ax+1＞0在[2，+∞）恒成立，當(dāng)a＞1時(shí)，應(yīng)有

a 2 ≥2 4-a2 4 ＞0

①，或

1 2 ＜ a 2 ＜2 4-2a+1＞0

②．由此求得a的范圍．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由題意可得，對(duì)數(shù)的真數(shù) x²-ax+2在[2，+∞）上的范圍為（0，1），
由

0＜a＜1 0＜4-2a+1＜1

，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：由函數(shù)y=log_a（x²-ax+2）在[2，+∞）恒為正，
可得x²-ax+2＞1，即x²-ax+1＞0在[2，+∞）恒成立，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，應(yīng)有  

a 2 ≥2 4-a2 4 ＞0

 ①，或

1 2 ＜ a 2 ＜2 4-2a+1＞0

②．
解①求得a∈∅，解②求得1＜a＜

5

2

．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由題意可得，對(duì)數(shù)的真數(shù) x²-ax+2在[2，+∞）上的范圍為（0，1），
此時(shí)，0＜

a

2

＜

1

2

，由

0＜a＜1 0＜4-2a+1＜1

，求得a∈∅．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的范圍為（1，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．